A. Grafik Fungsi Sinus: \(f(x) \space = \space sin \space x\) menggunakan tabel
Dalam membuat grafik fungsi \(f(x)= sin \space x\) dengan domain \(\left\{x|x° \leq x \leq 360°,
x \space \epsilon \space R \right\}\) dengan membuat tabel nilai fungsi untuk nilai x yang istimewa.
Perhatikan tabel 3.1 berikut.
Tabel 3.1. Tabel grafik fungsi sinus
\(y=sin \space x, 0≤x≤360°\)
\(x\)
\(0°\)
\(30°\)
\(60°\)
\(90°\)
\(120°\)
\(150°\)
\(180°\)
\(210°\)
\(240°\)
\(270°\)
\(300°\)
\(330°\)
\(360°\)
\(y=sin \space x\)
\(0\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
1
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
0
\(-\frac{1}{2}\)
\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(-1\)
\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(-\frac{1}{2}\)
0
\(\space\)
\(0,5\)
\(0,87\)
\(\space\)
\(0,87\)
\(0,5\)
\(\space\)
\(-0,5\)
\(-0,87\)
\(\space\)
\(-0,87\)
\(-0,5\)
\(\space\)
Berdasarkan tabel 3.1 dapat dibuat grafik fungsi \(y = sin \space x\) seperti gambar di bawah ini.
Gambar 3.2
Setelah kita mengamati Gambar 3.2 grafik fungsi \(y = sin \space x\) membentuk 1 Gelombang yang terdiri dari:
Puncak gelombang, puncak gelombang adalah titik tertinggi gelombang.
Dasar gelombang, dasar gelombang adalah titik dasar gelombang.
Amplitudo, Amplitudo adalah ukuran seberapa besar penyimpangan arus atau tegangan dari nilai tengah (titik nol).
Periode, Periode adalah lamanya waktu yang dibutuhkan oleh sinyal untuk membentuk satu gelombang penuh.
B. Menggunakan Lingkaran satuan
Dengan menggunakan lingkaran satuan ini kita akan lebih jelas melihat pergerakan grafik fungsi \(y = sin \space x\).
Perhatikan Grafik Berikut ini
1. Gerakkan lah slider
2. untuk mengetahui pergerakan grafik fungsi \(y = sin \space x\)
3. Kalian bisa mengisi besar sudut dengan \(0≤x≤1080°\)
Animasi 3.1
Dari pengamatan pada Animasi 3.1 dapat kita ketahui bahwa:
1. Gelombang akan berulang setelah interval °
2. Terdapat berapakah gelombang pada animasi di atas
Berdasarkan grafik fungsi sinus pada Animasi 3.1. sifat-sifat utama fungsi sinus adalah sebagai berikut:
Grafik \(y=sin \space x\) kontinu dalam interval \(0° \leq x \leq 360°\)
titik balik maksimum dalam interval \(0° \leq x \leq 360°\) di Puncak(\(\frac{π}{2},1\)), jadi nilai maksimum fungsi \(f(x)=sin \space x\) adalah 1 pada saat \(x= \frac{π}{2}\) atau 90°
titik balik minimum dalam interval \(0° \leq x \leq 360°\) di Dasar(\(\frac{3π}{2},-1\)), jadi nilai mainimum fungsi \(f(x)=sin \space x\) adalah -1 pada saat \(x= \frac{3π}{2}\) atau 270°
Kita dapat menyimpulkan bahwa grafik \(y=sin \space x\) berulang kembali setelah interval 360°.
Di dalam grafik terdapat amplitudo dan periode maka terlihatlah seperti gelombang.
dikatakan bahwa \(y=sin \space x\) adalah fungsi berkala (periodik) dengan besar setiap periode 360° artinya, jika grafik \(y=sin \space x\) diteruskan,
bentuk kurvanya akan berulang setiap 360° seperti yang ditunjukan pada gambar dibawah ini. Untuk lebih jelas perhatikan Gambar 3.3
Gambar 3.3
Jika kamu sudah memahami grafik fungsi \(y = sin \space x\) maka lakukan lah aktivitas-aktivitas dibawah ini!
AKTIVITAS 1
Mari kita menggambar grafik fungsi dengan konstanta \(a\) di fungsi \(y = a \space sin \space x\). isilah konstanta konstanta berikut.
a. \(y = sin \space x \iff a = 1\)
b. \(y = -sin \space x \iff a = -1\)
c. \(y = \frac{1}{2} \space sin \space x \iff a = \frac{1}{2}\)
d. \(y = 3 \space sin \space x \iff a = 3\)
1. Gerakkan lah slider
2. Kalian bisa mengisi sesuai dengan yang diperintahkan.
Animasi 3.2
Setelah kalian mengamati Animasi 3.2 maka isilah kotak jawaban.
Tinggi puncak gelombang dari \(y = sin \space x \), adalah
Tinggi puncak gelombang dari \(y = 3 \space sin \space x\), adalah
Setelah kalian memahami aktivitas 1, maka kita dapat simpulkan bahwa:
Ymax adalah titk puncak dan Ymin adalah titik bawah lembah.
Perhatikan pergerakan pada grafik konstanta \(a\) jika minus maka Ymax berada di tanda minus dan Ymin berada ditanda positif, juga sebaliknya.
Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa tiap grafik di atas mempunyai bentuk umum \(y = a \space sin \space x\),
mempunyai hubungan dengan Amplitudo(A), maka A = |a|
Gunakan kesimpulan tadi dengan menghitung besar Amplitudo Fungsi Trigonometri berikut
\(y = 4 \space sin \space x\)
konstanta a
Kita lihat pada persamaan untuk aktivitas 1 yaitu \(y = a \space sin \space x\)
Maka, untuk konstanta \(a\) di persamaan \(y = 4 \space sin \space x\) adalah 4
Amplitudo
kita masukkan kelam rumus, yaitu:
dengan rumus Amplitudo yaitu \(A = |a|\)
\(y = 4 \space sin \space x \iff A = |a| = 4 \)
jadi Amplitudo dari persamaan \(y = 4 \space sin \space x\) adalah 4
Mari Mencoba!
Mari kita mencoba menjawab soal berikut dari Aktivitas 1
Lihat lah gambar diatas cobalah cari:
a. Ymax dan Ymin
b. konstan \(a\)
c. Amplitudo dari persamaan diatas .
Penyelesaian
a. Ymax dan Ymin
Jawab:
Ymax =
Ymin =
b. konstan \(a\) =
c. Amplitudo = |a| =
AKTIVITAS 2
Mari kita menggambar grafik fungsi dengan Koefisien dari \(x\), kita anggap sebagai b di fungsi \(y = \space sin \space bx\). isilah koefisien berikut sesuai yang di tentukan.
a. \(y = sin \space x \iff b = 1\)
b. \(y = sin \space 2x \iff b = 2\)
c. \(y = sin \space 3x \iff b = 3\)
1. Gerakkan lah slider
2. Kalian bisa mengisi sesuai dengan yang diperintahkan.
Animasi 3.3
Setelah kalian mengamati Animasi 3.3 maka isilah kotak jawaban.
Ada berapa gelombang dari \(y = sin \space x \) dalam 360°, yaitu ada
Ada berapa gelombang dari \(y = sin \space 3x\),dalam 360°, yaitu ada
Setelah kalian memahami Aktivtas 2, maka kita dapat simpulkan bahwa:
Perhatikan pergerakan pada grafik jika koefisien \(b\) diganti, maka yang bergerak atau berubah
dari grafk tersebut adalah besarnya periode. Periode adalah gelombang yang didapatkan dalam waktu 360° grafik tersebut.
Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa tiap grafik di atas mempunyai bentuk umum \(y = sin \space bx\),
mempunyai hubungan dengan Besarnya Periode(p), maka \(p =\frac{2π}{b}\)
a. Gunakan kesimpulan tadi dengan menghitung besar Periode Fungsi Trigonometri berikut
\(y = sin \space 4x\)
Koefesien b
Kita lihat pada persamaan untuk aktivitas 2 yaitu \(y = sin \space bx\)
Maka, untuk koefisien \(b\) di persamaan \( = sin \space 4x\) adalah 4
Periode
dengan rumus Periode yaitu \(p = \frac{2π}{b}\)
\(\iff p \space = \space \frac{2π}{4} \)
\( \iff p \space = \space \frac{2 \space \cdot \space 180°}{4} \)
\( \iff p \space = \space \frac{360°}{4} \)
\( \iff p \space = \space 90° \)
jadi periode satu gelombang adalah 90°, maka dalam waktu 360° maka ia mempunyai 4 gelombang.
Mari Mencoba!
Mari kita mencoba menjawab soal berikut dari Aktivitas 2
Lihat lah gambar di atas cobalah cari:
a. banyaknya gelombang dalam 360°
b. periode
Penyelesaian
a. banyaknya gelombang dalam 360° =
b. periode \(p\) = °
AKTIVITAS 3
A. Grafik Bentuk Umum \(y = sin (x-c)\)
Mari kita menggambar grafik fungsi dengan bentuk umum diatas fungsi trigonometri berikut.
a. \(y = sin \space x \)
b. \(y = sin \space (x-1)\)
c. \(y = sin \space (x+3)\)
1. Gerakkan lah slider
2. Kalian bisa mengisi sesuai dengan yang diperintahkan.
Animasi 3.4
Setelah kalian mengamati Animasi 3.4 maka isilah kotak jawaban.
Gelombang dari \(y = sin \space (x+3)\) bergerak ke arah (kanan/kiri), sejauh
Gelombang dari \(y = sin \space (x-3)\) bergerak ke arah (kanan/kiri), sejauh
Setelah kalian memahami Aktivtas 3A, maka kita dapat simpulkan bahwa:
Grafik \(y=sin \space (x - c)\) adalah hasil pergeseran Horizontal
\(y=sin \space x\) sejauh \(c\) satuan.
Grafik \(y=sin \space (x - c)\) adalah hasil pergeseran Horizontal jika
(+) grafik bergeser ke kanan dan (-) bergeser ke kiri
B. Grafik Bentuk Umum \(y = sin \space x - d\)
Mari kita melihat perubahan grafik fungsi dengan bentuk umum diatas di fungsi trigonometri berikut.
a. \(y = sin \space x \)
b. \(y = sin \space x \space - \space 1\)
c. \(y = sin \space x \space + \space 3\)
Animasi 3.5
Setelah kalian mengamati Animasi 3.5 maka isilah kotak jawaban.
Gelombang \(y = sin \space x \space - \space 1\) bergerak ke arah (atas/bawah), sejauh
Gelombang \(y = sin \space x \space + \space 3\) bergerak ke arah (atas/bawah), sejauh
Setelah kalian memahami Aktivtas 3B, maka kita dapat simpulkan bahwa:
Grafik \(y=sin \space x + d\) adalah hasil pergeseran Vertikal
\(y=sin \space x\) sejauh \(d\) satuan.
Grafik \(y=sin \space x + d\) adalah hasil pergeseran Vertikal
jika (+) bergeser ke atas, dan (-) ke bawah.
C. Grafik Bentuk Umum \(y = sin \space (x \space - \space c) \space + \space d\)
1. Mari kita melihat perubahan grafik fungsi dengan bentuk umum diatas di fungsi trigonometri berikut.
a. \(y = sin \space x \)
b. \(y = sin \space (x \space - \space 1) + \space 2\)
c. \(y = sin \space (x \space + \space 3) + \space 4\)
d. \(y = sin \space (x \space - \space 1) - \space 2\)
e. \(y = sin \space (x \space + \space 3) - \space 4\)
Animasi 3.6
Berdasarkan Aktivitas 3 kita dapat menemukan bahwa:
1. Grafik \(y=sin \space (x - c)\) adalah hasil pergeseran Horizontal
\(y=sin \space x\) sejauh \(c\) satuan.
2. Grafik \(y=sin \space x + d\) adalah hasil pergeseran Vertikal
\(y=sin \space x\) sejauh \(d\) satuan.
3. Grafik \(y=sin \space (x - c) + d\) adalah hasil pergeseran dari grafik
\(y=sin \space x\) sejauh vektor \(\begin{bmatrix}c \\ d \end{bmatrix}\) satuan.
Persamaan Grafik berikut adalah
1.
Penyelesaian Tahap 1
tahap 1. Kita lihat \(Ymax\) dan \(Ymin\) untuk mencari a.
Jadi kita lihat a yang menjadi puncak gelombang yaitu 2.
Penyelesaian Tahap 2
tahap 2. untuk mencari b atau banyaknya gelombang dalam 360°.
perhatikan satu gelombang pada grafik dibawah ini.
jadi b atau gelombang yang dibutuhkan dalam 360° adalah 1 gelombang
Penyelesaian Tahap 3
Tahap 3 ini kita akan mencari c dan d.
1. c berarti pergeseran gelombang ke arah horizontal kita lihat.
Jadi, c bergeser ke arah kiri dengan nilai pergeseran -90°.
maka dengan bentuk umum \(y = sin \space (x-c) \iff y = sin \space (x-(-90)) \iff sin \space (x+90) \)
2. d berarti pergeseran gelombang ke arah vertikal kita lihat.
Jadi, untuk d tidak terjadi perubahan artinya tidak bergeser ke arah Vertikal.
maka dengan bentuk umum jika digabungkan tahap 1-3 semuanya
$$y = 2 \space sin \space (x + 90°) \iff y = 2 \space sin \space (x + \frac{π}{2}) $$