2. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
2.2. Sudut θ Istimewa
Sudut istimewa trigonometri merupakan sudut yang nilai perbandingan trigonometrinya bisa ditentukan dengan bentuk sederhana. Adapun nilai sudut-sudut istimewa ini adalah 0, 30, 45, 60, dan 90. Perhatikan materi-materi berikut.
*silahkan klik materi di bawah ini!
A. Untuk Sudut θ sama dengan 0° atau 90°
Perhatikan Gambar 2.2 berikut.
Gambar 2.2
(i) Perhatikan Gambar 2.2 jika θ = 0°, Maka:
y = 0 dan x = r , sehingga
$$sin \space 0° = \frac{y}{r} =\frac{0}{r} = 0$$
$$cos \space 0° = \frac{x}{r} =\frac{r}{r} = 1$$
$$sin \space 0° = \frac{y}{x} =\frac{0}{r} = 0$$
(ii) Perhatikan kembali Gambar 2.2 jika θ = 90°, Maka:
x = 0 dan y = r , sehingga
$$sin \space 90° = \frac{y}{r} =\frac{r}{r} = 1$$
$$cos \space 90° = \frac{x}{r} =\frac{0}{r} = 0$$
$$tan \space 90° = \frac{y}{x} =\frac{r}{0} = ∞$$
B. Untuk Sudut θ sama dengan 30°, 45°, atau 60°
Gambar 2.3
Gambar 2.3 menunjukkan \(\Delta\)ABC siku-siku sama kaki, ∠A = ∠B = 45° dan AC = BC = 1 satuan, maka: $$\left \vert AB \right \vert^2 = \left \vert AC \right \vert^2 + \left \vert BC \right \vert^2 $$ $$\left \vert AB \right \vert = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $$ Berdasarkan \(\Delta\)ABC tersebut, kita dengan mudah menentukan nilai-nilai berikut: $$sin \space 45° = \frac{y}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} \iff sin \space 45° = \frac{1}{2}\sqrt{2}$$ $$cos \space 45° = \frac{x}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} \iff cos \space 45° = \frac{1}{2}\sqrt{2}$$ $$tan \space 45° = \frac{y}{x} = \frac{1}{1} = 1 $$
Gambar 2.4
Gambar Gambar 2.4 menunjukkan \(\Delta\)ABC siku-siku di C, dengan ∠B = 60°, ∠A = 30°, panjang sisi BC (di hadapan sudut 30°) = 1 satuan dan sisi AB = 2 satuan, maka: $$\left \vert AC \right \vert^2 = \left \vert AB \right \vert^2 - \left \vert BC \right \vert^2 $$ $$\left \vert AC \right \vert = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$$ Berdasarkan ▵ABC tersebut, kita dapat menentukan nilai-nilai untuk: $$sin \space 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{3} \space\space ; \space\space sin \space 30° = \frac{1}{2}$$ $$cos \space 60° = \frac{1}{2} \space\space ; \space\space cos \space 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$$ $$tan \space 60° = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \space ; \space tan \space 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{3}$$
Maka sudut-sudut khusus atau sudut istimewa sebagai berikut:
Tabel 2. Sudut Istimewa
| Fungsi Trigonometri | sudut | ||||
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | |
| sinus | $$0$$ | $$\frac{1}{2}$$ | $$\frac{1}{2}\sqrt{2}$$ | $$\frac{1}{2}\sqrt{3}$$ | $$1$$ |
| cosinus | $$1$$ | $$\frac{1}{2}\sqrt{3}$$ | $$\frac{1}{2}\sqrt{2}$$ | $$\frac{1}{2}$$ | $$0$$ |
| tangen | $$0$$ | $$\frac{1}{3}\sqrt{3}$$ | $$1$$ | $$\sqrt{3}$$ | $$∞$$ |
2.3. Perbandingan Trigonometri untuk sudut θ Lebih dari 90° ke Sudut Lancip
*silahkan klik materi di bawah ini!A. Sudut θ di kuadran I
Perhatikan Gambar 2.5 berikut. Titik P(x , y) terletak pada Lingkaran yang berpusat di O(0 , 0) dengan jari-jari r.
Gambar 2.5
\(\Delta OPQ\) Marupakan Segitiga siku-siku di Q dengan sudut lainnya yaitu \(∠POQ = θ\) dan \(∠OPQ = α\)
Maka Perbadingan trigonometri di Lingkaran pada Gambar 2.5 perhatikan tabel berikut:
Tabel 3. Perbandingan Trigonometri di titik P(x , y)
| $$sin\spaceθ = \frac{y}{r}$$ | $$sin α = \frac{x}{r}$$ |
| $$cos\spaceθ = \frac{x}{r}$$ | $$cos\spaceα = \frac{y}{r}$$ |
| $$tan\spaceθ = \frac{y}{x}$$ | $$tan\spaceα = \frac{x}{y}$$ |
| $$cot\spaceθ = \frac{x}{y}$$ | $$cot\spaceα = \frac{y}{x}$$ |
| $$sec\spaceθ = \frac{r}{x}$$ | $$sec\spaceα = \frac{r}{y}$$ |
| $$csc\spaceθ = \frac{r}{y}$$ | $$csc\spaceα = \frac{r}{x}$$ |
Berdasarkan rumus-rumus pada Tabel 3 di atas, dapat diperoleh hal-hal berikut ini:
Jumlah sudut \(θ + α; = 90°\) sama dengan \( θ = 90° - α;\)
$$sin\spaceα = cos\spaceθ = \frac{x}{r} \space\space\space atau \space\space\space sin\space(90° - θ) = cos\spaceθ $$ $$cos\spaceα = sin\spaceθ = \frac{y}{r} \space\space\space atau \space\space\space cos\space(90° - θ) = sin\spaceθ $$ $$tan\spaceα = cot\spaceθ = \frac{x}{y} \space\space\space atau \space\space\space tan\space(90° - θ) = cot\spaceθ $$ $$cot\spaceα = tan\spaceθ = \frac{y}{x} \space\space\space atau \space\space\space cot\space(90° - θ) = tan\spaceθ $$
maka rumus yang didapatkan
$$sin\space(90°-α)=cos\spaceα$$
$$cos\space(90°-α)=sin\spaceα$$
$$tan\space(90°-α)=cot\spaceα$$
$$a.\space\space\space sin \space70°\space=\space sin \space(90 - 20)°\space=\space cos\space20°\space= 0,9397$$
$$b.\space\space\space cos \space 55° \space=\space cos \space (90 - 35)° \space = \space sin \space 35°$$
$$c.\space\space\space tan \space 86° \space=\space tan \space (90 - 4)° \space=\space cot \space 4°$$
$$b.\space\space\space cos \space 55° \space=\space cos \space (90 - 35)° \space = \space sin \space 35°$$
$$c.\space\space\space tan \space 86° \space=\space tan \space (90 - 4)° \space=\space cot \space 4°$$
B. Sudut θ di Kuadran II
Seandainya 128° diganti dengan θ dan 52° dengan α,
maka kita dapat menurunkan suatu rumus sudut-sudut yang berelasi untuk menghitung sudut-sudut
di Kuadran II, yaitu:
Perhatikan Gambar 2.6 di bawah ini. Titik \(A_{2}\) (-x ,y ) terletak pada lingkaran yang berpusat pada O(0,0 ) dengan jari-jari r \(\Delta\)OP\(A_{2}\) merupakan Segitiga siku-siku di P sebagai berikut.
Gambar 2.6
Misalkan θ = 128° seperti Gambar 2.6. Nilai-nilai untuk sin 128°, cos 128° dan tan 128° dapat dihitung secara tidak langsung sebagai berikut: $$128° = (180 - 52)°$$ Jadi, $$sin \space 128° = sin \space(180 - 52)° =\frac{y}{r}\space\space\space\space....(1)$$ Sedangkan dalam \(\Delta OPA_2\): $$sin\space52° = \frac{y}{r}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space.....(2)$$ Berdasarkan (1) dan (2): sin 128° = sin (180 - 52)° = sin 52°
Seandainya 128° diganti dengan θ dan 52° dengan α,
maka kita dapat menurunkan suatu rumus sudut-sudut yang berelasi untuk menghitung sudut-sudut
di Kuadran II, yaitu:
$$sin\spaceθ = sin\space(180 - α)$$
$$ = sin \spaceα$$
dengan cara yang serupa kita dapat menurunkan rumus-rumus sudut berelasi di kuadran II untuk cosinus dan tangen
$$cos \space θ\space = cos \space (180°-α)=-cos \spaceα$$
$$tan \space θ\space =tan \space (180°-α)=-tan \spaceα$$
Tentukanlah sudut lancip dari
sin 100°.
Sesudah tau berada di dalam kuadran II kita masukkan kelam rumus, yaitu:
$$sin\spaceθ = sin \space(180 - α) = sin \spaceα$$
Jawab:
Sudut lancip cos 120° adalah. . . .
Jawab:
\(cos \space 120° = cos (180-\) )°
\(= -cos\)
Untuk \(sin \space 100°\) brada di kuadran II
Kuadran II jika \(sin\) bernilai Positif (+)
Sesudah tau berada di dalam kuadran II kita masukkan kelam rumus, yaitu:
$$sin\spaceθ = sin \space(180 - α) = sin \spaceα$$
Jawab:
sin 100° = sin (180 - 80)°
= sin 80°
Jadi \(sin \space 100°\) adalah \(sin \space 80°\)
Sudut lancip cos 120° adalah. . . . Jawab:
\(cos \space 120° = cos (180-\) )°
\(= -cos\)
C. Sudut θ di kuadran III
Perhatikan Gambar 2.7 di bawah ini. Titik \(A_{3}(-x,-y )\) terletak pada lingkaran yang berpusat pada \(O(0,0 )\) dengan jari-jari r, \(\Delta OPA_3\) merupakan Segitiga siku-siku di P sebagai berikut.
Gambar 2.7
Misalkan θ = 215°, Seperti Gambar 2.7 diperoleh : Gambar 2.7
$$215°\space =\space (180 +35)°$$ Sehingga $$sin \space 215° = sin \space(180 - 35)° =\frac{-y}{r}\space\space\space\space....(1)$$ Sedangkan dalam \(\Delta OPA_3\): $$sin\space 35° = \frac{y}{r}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space.....(2)$$ Berdasarkan (1) dan (2):
$$sin \space 215° = sin (180 - 35)° = -sin \space 35°$$
Kita dapat menurunkan suatu rumus sudut-sudut yang berelasi untuk menghitung sudut-sudut
di Kuadran III, yaitu:
$$sin \spaceθ\space = sin \space(180° + α) = -sin \spaceα$$
$$cos \space θ\space = cos \space (180°+α)=-cos \spaceα$$
$$tan \space θ\space =tan \space (180°+α)= tan \spaceα$$
Sudut lancip dari
cos 240° adalah
Sesudah tau berada di dalam kuadran III kita masukkan kelam rumus, yaitu:
$$cos\spaceθ = cos \space(180 + α) = - cos \spaceα$$
Jawab:
Sudut lancip dari tan 220° adalah . . . .
Jawab: tan 220° = tan (180 \(+\) )°
= tan°
Untuk \(cos \space 240°\) berada di kuadran III
Kuadran III jika \(cos\) bernilai negatif (-)
Sesudah tau berada di dalam kuadran III kita masukkan kelam rumus, yaitu:
$$cos\spaceθ = cos \space(180 + α) = - cos \spaceα$$
Jawab:
\(cos \space 240° = cos (180 + 60)°\)
=\(-cos \space 60°\) (cos minus (-) karena di kuadran III)
Jadi \(cos \space 240°\) adalah \(-cos \space 60°\)
Sudut lancip dari tan 220° adalah . . . .
Jawab: tan 220° = tan (180 \(+\) )°
= tan°
D. Sudut θ di kuadran IV
Perhatikan Gambar 2.8 di bawah ini. Titik \(A_{4}(x,-y )\) terletak pada lingkaran yang berpusat pada \(O(0,0 )\) dengan jari-jari r. \(\Delta OPA_{4}\) merupakan Segitiga siku-siku di P sebagai berikut.
Gambar 2.8
Misalkan θ = 296°, Seperti Gambar 2.8 diperoleh :
$$296°\space =\space (360 - 64)°$$
Sehingga
$$sin \space 296° = sin \space(360 - 64)° =\frac{-y}{r}\space\space\space\space....(1)$$
Sedangkan dalam \(\Delta OPA_4\):
$$sin\space 64° = \frac{y}{r}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space
\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space.....(2)$$
Berdasarkan (1) dan (2):
$$sin \space 296° = sin (360 - 64)° = -sin \space 64°$$
Kita dapat menurunkan suatu rumus sudut-sudut yang berelasi untuk menghitung sudut-sudut
di Kuadran IV, yaitu:
$$sin \spaceθ\space = sin \space(360° - α) = -sin \spaceα$$
$$cos \space θ\space = cos \space (360°-α)= cos \spaceα$$
$$tan \space θ\space =tan \space (360°-α)= -tan \spaceα$$
Sudut lancip dari
cos 301° adalah
Sesudah tau berada di dalam kuadran IV kita masukkan kelam rumus, yaitu:
$$cos\spaceθ = cos \space(360 - α) = cos \spaceα$$
Jawab:
Nyatakan dalam sudut lancip
tan 354°
tan 354° = tan (360 - )°
=\(-\) tan
Untuk \(cos \space 301°\) berada di kuadran IV
Kuadran IV jika \(cos\) bernilai positif (+)
Sesudah tau berada di dalam kuadran IV kita masukkan kelam rumus, yaitu:
$$cos\spaceθ = cos \space(360 - α) = cos \spaceα$$
Jawab:
cos 301° = cos (360 - 59)°
= cos 59° (cos minus (+) karena di kuadran IV)
Jadi \(cos \space 301°\) adalah \(cos \space 59°\)
Nyatakan dalam sudut lancip
tan 354°
tan 354° = tan (360 - )°
=\(-\) tan